統計学の授業を受けている学生やプロの研究者であれば、データを分析して賢い意思決定をするために、推測統計の使い方を知っておく必要があります。 多くの情報にアクセスできる「ビッグデータ」の時代には、サンプルから正しい集団の結論を導き出す能力が重要です。
推測統計では、データに基づいて推論や予測を行うことができますが、記述統計では、データ収集の特性を要約します。 多数の数値データから傾向やパターンを特定することができる数学の一分野です。
今回は、推論統計について、その内容、仕組み、例などをご紹介します。
推測統計学の定義
推測統計学は、より少ないサンプルからの情報を外挿し、より大きな集団について予測し、結論を導き出すための統計技術を使用します。
確率論や統計モデルを用いて、サンプルデータに基づいて母集団のパラメータを推定し、母集団の仮説を検証するものです。 推測統計の主な目的は、サンプルデータを用いて母集団全体に関する情報を提供し、導き出される結論をできるだけ正確で信頼できるものにすることである。
推測統計の主な用途は2つあります：
- 人口推計を提供する。
- 理論を検証して、集団について結論を出す。
研究者は、推測統計と代表サンプルを利用することで、集団を一般化することができます。 結論に至るには、論理的な推論が必要です。 その結果を導き出す方法の手順を以下に示します：
- 調査対象となる母集団をサンプルとして選ぶ必要があります。 この場合、母集団の性質や特徴をサンプルに反映させる必要があります。
- サンプルの行動を分析するために、推論統計学的手法を使用します。 回帰分析や仮説検定に使われるモデルなどがこれにあたります。
- ファーストステップサンプルは、結論を出すために使用します。 母集団全体についての仮定や予測を用いて、推論を行う。
推論統計学の種類
推測統計は、2つのカテゴリーに分けられます：
- 仮説の検証を行う。
- 回帰分析を行っている。
研究者は、小さなサンプルに基づいて、より大きな集団に結果を一般化するために、これらの方法を頻繁に使用します。 それでは、推測統計で利用できる方法をいくつか見てみましょう。
- 仮説の検証
仮説を検証し、サンプルデータから母集団に関する一般論を導き出すことは、推測統計の例である。 帰無仮説と対立仮説を立て、統計的有意差検定を行うことが必要です。
仮説検定は、左側、右側、または両側の分布を持つことができます。 検定統計量の値、臨界値、信頼区間を用いて、結論を出す。 以下、推測統計学で採用される重要な仮説検定をいくつか紹介する。
- Zテストです：
データが正規分布で、サンプルサイズが30以上の場合、z検定が適用されます。 母分散がわかると、標本平均と母平均が等しいかどうかを判断する。 右辺の仮説を検証するために、次のような設定を行うことができます：
帰無仮説： H0：μ＝μ0
代替仮説： H1：μ>μ0
検定統計量です： Z検定＝（x_n_304）/（σ / √n）である。
のところです、
x̄ = 標本平均値
μ＝母平均
σ = 母集団の標準偏差
n = サンプル数
判断基準です：z 統計量> z 臨界値の場合、帰無仮説を棄却する。
- Tテストです：
サンプルサイズが30未満で、データが学生のt分布である場合、t検定が利用されます。 母集団の分散が不明な場合に、標本平均と母集団平均を比較する。 推測統計学の仮説検証は以下の通りです：
帰無仮説：H0：μ＝μ0
代替仮説： H1：μ>μ0
検定統計量： t = x̄-μ / s√n
xⅮ、μ、nの表現はz検定で述べたものと同じである。 s “はサンプルの標準偏差を表します。
判断基準です：t 統計量> t 臨界値の場合、帰無仮説を棄却する。
- Fテストです：
2つの標本や集団の分散を比較する場合、差があるかどうかを調べるためにf検定が使われます。 右辺のf検定は、以下のように構成することができます：
帰無仮説：H0:σ21 ＝σ22である。
代替仮説： H1 :σ21> σ22
検定統計量： f =σ21 / σ22、σ21は第1集団の分散、σ22は第2集団の分散を表す。
判断基準です： 意思決定の基準：f検定統計量> 臨界値の場合、帰無仮説を棄却する。
- 信頼区間です：
信頼区間は、母集団のパラメーターの推定を補助するものである。 例えば、95％信頼区間とは、新鮮なサンプルを用いて同一の条件でテストを行った場合、100回中95回が指定された範囲内に推定値が収まることを意味します。 また、信頼区間は、仮説検定における決定的な値を決定するために使用することができます。
これらの検定に加え、推測統計学ではANOVA検定、Wilcoxon signed-rank検定、Mann-Whitney U検定、Kruskal-Wallis検定、H検定などが用いられます。
- 回帰分析
回帰分析は、ある変数が他の変数との関係でどのように変化するかを計算するために行われます。 単純線形回帰、重回帰、名義回帰、ロジスティック回帰、順序回帰など、多数の回帰モデルを使用することができる。
推測統計学では、線形回帰が最も多く採用されている。 独立変数の単位変化に対する従属変数の応答を、線形回帰によって調べる。 これらは、推測統計学を用いた回帰分析に欠かせないいくつかの式である：
回帰係数です：
直線の式は、y＝α＋βxで与えられ、αとβは回帰係数である。
β＝∑n1（xi-x⑰）（yi-y）／Σn1（xi-x）2
β=rxy σy/ σx
α=y-βx
ここで、xは平均値、σxは第1データセットの標準偏差である。 同様に、yは平均値、σyは第2データセットの標準偏差である。
推論統計の例
この例では、記述統計のセクションで説明したように、特定のクラスのテスト結果に基づいて研究を行ったとします。 あなたは今、その同じテストについて推測統計学の研究を行いたいと考えています。
標準化された国家試験であると仮定する。 同じテストを、今度はあるコミュニティについて推論する目的で使用することで、研究の進め方や報告する結果がどう変わるかを示すことができます。
記述統計で記述したいクラスを選択し、そのクラスのテスト結果をすべて入力します。 簡単で良い。 推測統計では、まず母集団を定義してから、その中から無作為にサンプルを選ぶ必要があります。
代表的なサンプルを確保するために、ランダムサンプリング戦略を策定する必要があります。 この手続きには時間がかかる場合があります。 ここでは、米国カリフォルニア州の公立学校に通う小学5年生を母集団として定義してみましょう。
この例では、母集団全体に名簿を渡し、その中からランダムに100人の生徒を選び、テスト結果を得たとします。 これらの学生は、単一のクラスではなく、州内のさまざまな学校のさまざまなクラスであることを意識してください。
推論統計の結果
ランダムサンプルの平均、標準偏差、割合は、すべて推測統計学を用いて点推定値として算出することができます。 知る由もないが、これらの点数推定が正確であることはまずない。 この母集団ですべての被験者を測定することは不可能であるため、これらの数値は誤差を含んでいます。
平均値、標準偏差、満足できるスコア（>=70）の割合の信頼区間を含む。 推論統計は、CSVデータファイルです。
| 統計 | 母集団パラメータ推定値（CI) |
| 意味 | 77.4 – 80.9 |
| 標準偏差 | 7.7 – 10.1 |
| 70点以上の割合 | 77% – 92% |
母集団の平均値は77.4から80.9の間であり、これらの推定値の不確実性を考慮して95%の信頼区間を設定しています。 分散性の指標として、母集団の標準偏差は7.7～10.1の範囲にあることが最も多い。 さらに、満足度の高いスコアの母集団比率は77％から92％と予測されています。
記述統計学と推測統計学の違い
記述統計と推測統計はどちらも、データを記述し分析するために用いられる統計解析の一種です。 ここでは、両者の主な違いをご紹介します：
- 定義する。
記述統計は、平均値、中央値、最頻値、標準偏差、分散、範囲などの指標を用いて、データセットの特徴を要約して記述します。 データに基づいて集団について結論や予測をすることはない。
一方、推測統計は、データのサンプルを使って、そのデータの元となった母集団についての結論を導き出すものです。 確率論や統計モデルを用いて、ある結果の可能性を判断し、母集団に関する仮説を検証するのです。
- 目的である：
記述統計は 通常、データを要約し、データセットの最も重要な部分を明確かつ簡潔に説明するために使用されます。 変数の分布を記述し、傾向やパターンを見つけ、変数間の関係を調べる。
推測統計は通常、仮説を検証し、サンプルから母集団に関する結論を導き出すために使用されます。 予測、パラメータの推定、グループ間の差の重要性の検証などに使用されます。
- データです：
記述統計は、数値データ（年齢、体重、身長など）やカテゴリーデータ（性別、人種、職業など）を含む、あらゆるタイプのデータに使用することができます。
推測統計学では、母集団から無作為のサンプルを使用し、データがどのように分布しているか、サンプルの大きさについて仮定する。
- 結果が出ました：
記述統計は、データの概要を示すもので、通常、表、グラフ、または要約統計で示される。
推測統計は、母集団に関する推定値や確率を与えるもので、通常、仮説検定、信頼区間、効果量として報告される。
推測統計がサンプルデータに基づいて母集団について推論するために用いられるのに対し、記述統計はデータを要約して特徴付けるために用いられる。
推論統計学の重要性：備考
- 推測統計学は、サンプルのデータが母集団全体について何を語っているかを判断するための分析ツールを使用します。
- 推論統計には、仮説の検証や時間の経過による変化を見ることなどがあります。
- 推論統計学では、母集団全体を代表するサンプルを見つけるためにサンプリング手法を用います。
- 推測統計学では、Z検定、t検定、線形回帰などのツールを使って、何が起こっているかを判断します。
結論
推論統計学は、小さなサンプルのデータに基づいて、全体のグループについての結論を導き出す強力な方法です。 推測統計学は、確率論と統計モデルを用いて、研究者が特定の結果の可能性を判断し、集団に関する考えを検証するのに役立ちます。
推測統計は、データ分析や研究において重要な役割を果たします。なぜなら、小さなサンプルのデータに基づいて、集団全体について予測したり、結論を出したりできるからです。 前提条件やデータの質について慎重に考える必要がある複雑で高度な分野ですが、重要な研究課題や重要な疑問に対する答えを与えることができます。
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