Die Varianz ist neben der Standardabweichung das am häufigsten verwendete Maß für die Streuung. Sie ist ein zuverlässiges Maß für die Analyse von Daten aus einer Verteilung. Durch den Vergleich mit dem Mittelwert kann das Vorhandensein von Ausreißern oder abweichenden Daten erkannt werden.
Im Folgenden erfahren Sie mehr über dieses Maß, seine Eigenschaften, Vorteile und seine Berechnung.
Was ist die Varianz?
Die Varianz ist ein Maß für die Streuung, das die Variabilität einer Datenreihe in Bezug auf ihren Mittelwert darstellt. Formal wird sie berechnet als die Summe der Quadrate der Residuen geteilt durch die Gesamtzahl der Beobachtungen.
Sie kann auch als die Standardabweichung zum Quadrat berechnet werden. Unter dem Residuum versteht man übrigens die Differenz zwischen dem Wert einer einzelnen Variablen und dem Mittelwert der gesamten Variablen.
Die Berechnung der Varianz ist notwendig, um die Standardabweichung zu berechnen.
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Vor- und Nachteile der Varianz
Die Varianz wird verwendet, um zu sehen, wie die einzelnen Zahlen innerhalb eines Datensatzes zusammenhängen, anstatt breitere mathematische Techniken zu verwenden.
Sie unterscheidet sich auch dadurch, dass sie alle Abweichungen vom Mittelwert unabhängig von ihrer Richtung als gleich behandelt. Die quadrierten Abweichungen können sich nicht zu Null addieren und erwecken den Anschein, dass es keine Variabilität in den Daten gibt.
Ein Nachteil ist jedoch, dass Ausreißern mehr Gewicht beigemessen wird. Das sind Zahlen, die weit vom Mittelwert entfernt sind. Die Quadrierung dieser Zahlen kann die Daten verzerren.
Ein weiterer Nachteil der Varianz ist, dass sie nicht einfach zu interpretieren ist. Sie wird hauptsächlich verwendet, um die Quadratwurzel aus ihrem Wert zu ziehen, was die Standardabweichung der Daten angibt.
Beispiel für die Varianz
Anhand eines hypothetischen Beispiels soll die Funktionsweise der Varianz, in diesem Fall im Bereich der Finanzen, verdeutlicht werden. Angenommen, die Rendite der Aktien von Unternehmen ABC beträgt im ersten Jahr 10 %, im zweiten Jahr 20 % und im dritten Jahr -15 %. Der Durchschnitt dieser drei Renditen beträgt 5 %. Die Differenzen zwischen den einzelnen Renditen und dem Mittelwert betragen 5 %, 15 % und -20 % für jedes aufeinanderfolgende Jahr.
Die Quadrierung dieser Abweichungen ergibt 0,25%, 2,25% bzw. 4,00%. Wenn wir diese Abweichungen quadrieren, erhalten wir insgesamt 6,5 %. Teilt man die Summe von 6,5% durch 1 minus die Anzahl der Renditen im Datensatz, da es sich um eine Stichprobe handelt (2 = 3-1), erhält man eine Varianz von 3,25% (0,0325). Die Quadratwurzel aus der Varianz ergibt eine Standardabweichung der Renditen von 18 % (√0,0325 = 0,180).
So berechnen Sie die Varianz
Führen Sie die folgenden Schritte aus, um die Varianz zu berechnen:
- Berechnen Sie den Mittelwert der Daten.
- Ermitteln Sie die Differenz der einzelnen Datenpunkte zum Mittelwert.
- Quadrieren Sie jeden dieser Werte.
- Addieren Sie alle quadrierten Werte.
- Teilen Sie diese Summe der Quadrate durch n – 1 (für eine Stichprobe) oder N (für die Grundgesamtheit).
Formel zur Berechnung der Varianz
Bevor wir uns die Formel ansehen, muss gesagt werden, dass die Varianz in der Statistik sehr wichtig ist. Denn obwohl sie ein einfaches Maß ist, kann sie viele Informationen über eine bestimmte Variable liefern.
Die Maßeinheit ist immer die Maßeinheit, die den Daten entspricht, aber zum Quadrat. Die Varianz ist immer größer als oder gleich Null. Da die Residuen quadriert werden, ist es mathematisch unmöglich, dass die Varianz negativ ist. Daher kann sie auch nicht kleiner als Null sein.
Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
Eigentlich messen sie beide dasselbe. Die Varianz ist die Standardabweichung zum Quadrat. Umgekehrt ist die Standardabweichung die Quadratwurzel der Varianz.
Die Standardabweichung wird in den ursprünglichen Maßeinheiten berechnet. Da dies normal ist, könnte man sich natürlich fragen, was der Sinn der Varianz als Konzept ist. Nun, obwohl die Interpretation des Wertes, den sie liefert, uns nicht viele Informationen liefert, ist ihre Berechnung notwendig, um den Wert der anderen Parameter zu erhalten.
Zur Berechnung der Kovarianz benötigen wir die Varianz und nicht die Standardabweichung, zur Berechnung einiger ökonometrischer Matrizen verwenden wir die Varianz und nicht die Standardabweichung. Dies ist eine Frage der Bequemlichkeit bei der Arbeit mit den Daten und hängt von den jeweiligen Berechnungen ab.
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Warum wird die Standardabweichung häufig häufiger verwendet als die Varianz?
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus der Varianz. Sie ist manchmal nützlicher, weil die Quadratwurzel die Einheiten aus der Analyse entfernt. Dadurch können direkte Vergleiche zwischen verschiedenen Dingen angestellt werden, die unterschiedliche Einheiten oder unterschiedliche Größenordnungen haben können.
Wenn man zum Beispiel sagt, dass eine Erhöhung von X um eine Einheit Y um zwei Standardabweichungen erhöht, kann man die Beziehung zwischen X und Y unabhängig von den Einheiten, in denen sie ausgedrückt werden, verstehen.
Fazit
Die Varianz wird in der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung als Maß für die Streuung einer Verteilung oder Stichprobe verwendet. Genauer gesagt ist sie definiert als der Mittelwert der Quadrate der Abweichungen vom Mittelwert. Durch die Berücksichtigung des Quadrats dieser Abweichungen wird verhindert, dass sich die positiven und negativen Abweichungen gegenseitig aufheben.
Optisch gesehen ist eine Verteilung mit einer großen Varianz breiter gestreut, während eine Verteilung mit einer kleinen Varianz sehr eng um ihren Mittelwert herum angeordnet ist.
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